幾何問(wèn)題是近幾年國(guó)、聯(lián)考中必考的熱門(mén)題型，考查頻率越來(lái)越高。其中的最短路徑問(wèn)題考查較多，方法性很強(qiáng)，通過(guò)學(xué)習(xí)可以有良好掌握，學(xué)習(xí)的性?xún)r(jià)比很高。下面山東公務(wù)員考試網(wǎng)（www.xaxtcm.com）為大家具體講解如何解決幾何中的最短路徑問(wèn)題。
最短路徑問(wèn)題考查形式通常為求點(diǎn)之間的最短距離，核心解題方法為平面上兩點(diǎn)之間，線(xiàn)段最短。在考試中最短路徑問(wèn)題主要分為兩大類(lèi)，平面幾何最短路徑與立體幾何最短路徑。雖然題目有多種問(wèn)法，但萬(wàn)變不離其宗，只要知識(shí)點(diǎn)掌握牢固、能夠融會(huì)貫通，無(wú)論如何創(chuàng)新如何結(jié)合，我們都可以熟練解決。
平面幾何最短路徑問(wèn)題
1.兩點(diǎn)異側(cè)
題型特征：求在直線(xiàn)異側(cè)的兩點(diǎn)之間的最短距離，或在直線(xiàn)異側(cè)的兩點(diǎn)到第三點(diǎn)的最短距離之和
解題方法：兩點(diǎn)之間，線(xiàn)段最短，三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)距離之和最短
例1.【2011聯(lián)考】火車(chē)站A和B與初始發(fā)車(chē)站C的直線(xiàn)距離都等于akm，站點(diǎn)A在發(fā)車(chē)站C的北偏東20度，站點(diǎn)B在發(fā)車(chē)站C的南偏東40度，若在站點(diǎn)A和站點(diǎn)B之間架設(shè)火車(chē)軌道，則最短的距離為：
A. akm
B. 3akm
C. 2akm
D. 
akm
【解題思路】如圖所示，根據(jù)題意中A在C點(diǎn)北偏東20度和B在C點(diǎn)南偏東40度可知，A、B、C三點(diǎn)構(gòu)成頂角為120度的等腰三角形，且AB為底邊。過(guò)點(diǎn)C做AB的中垂線(xiàn)，交AB于點(diǎn)D。根據(jù)勾股定理可得，CD=
a，AD=
a，則AB=2AD=
a，正確答案為D。
【點(diǎn)評(píng)】公務(wù)員考試中，三角形求邊長(zhǎng)常用勾股定理和相似三角形。因此建議各位考生將常見(jiàn)三角形邊長(zhǎng)比例熟練記憶，如30°直角三角形、等腰直角三角形、120°等腰三角形等。本題若變形為C火車(chē)站正東建立新火車(chē)站D，求AB兩點(diǎn)到D距離之和最短，因三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)距離之和最短，直接連接AB即為最短距離和。
2.兩點(diǎn)同側(cè)
題型特征：求在直線(xiàn)同側(cè)的兩點(diǎn)到第三點(diǎn)的最短距離之和
解題方法：將其中一點(diǎn)鏡像對(duì)稱(chēng)，使三點(diǎn)共線(xiàn)
例1.【2019浙江】 A、B點(diǎn)和墻的位置如圖所示。現(xiàn)從A點(diǎn)出發(fā)以5米/秒的速度跑向墻，接觸到墻后再跑到B點(diǎn)。問(wèn)最少要多少秒到達(dá)B點(diǎn)?
A. 30
B. 34
C. 38
D. 42
【解題思路】要用最短時(shí)間到達(dá)B點(diǎn)，在速度一定的情況下，需從A接觸到墻后再跑到B點(diǎn)所走的路程最短。如圖，由于A和B在墻的同側(cè)，可考慮做其中一個(gè)點(diǎn)關(guān)于墻的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，該對(duì)稱(chēng)點(diǎn)與另一個(gè)點(diǎn)的連線(xiàn)即為最短路程。假設(shè)做A點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C，最短距離為BC。CD=90米，BD=30+45+45=120米，最短距離BC=
=150米，則t=
=30秒,正確答案為A。
【點(diǎn)評(píng)】先判斷為同側(cè)問(wèn)題，需要作其中一點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，再連接另外一點(diǎn)，用勾股定理求解。兩點(diǎn)同側(cè)時(shí)，對(duì)稱(chēng)哪一個(gè)點(diǎn)都可以，但是一般為了計(jì)算方便，建議對(duì)稱(chēng)短的那一個(gè)。
例2.【2017聯(lián)考】如下圖所示，某條河流一側(cè)有A.、B.兩家工廠，與河岸的距離分別為4km和5km，且A.與B.的直線(xiàn)距離為11km。為了處理這兩家工廠的污水，需要在距離河岸1km處建造一個(gè)污水處理廠，分別鋪設(shè)排污管道連接A.、B.兩家工廠。假定河岸是一條直線(xiàn)，則排污管道總長(zhǎng)最短是：
A. 12km
B. 13km
C. 14km
D. 15km
【解題思路】如下圖所示，過(guò)污水處理廠做河岸的平行線(xiàn)HC，D為A關(guān)于HC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，則最短距離為DB，由題污水廠離河1km可得A點(diǎn)距離到HC為HA=HD=3km，B點(diǎn)距離HC等于EH=4km，則DE=3+4=7km。
，所以
，正確答案為B。
【點(diǎn)評(píng)】本題中題目AB為河流一側(cè)，因此為兩點(diǎn)同側(cè)。提醒大家注意，若以河為對(duì)稱(chēng)軸，求的點(diǎn)為交點(diǎn)，此時(shí)污水處理廠建在河里，因此此題的對(duì)稱(chēng)軸是第三個(gè)點(diǎn)所在的水平線(xiàn)，過(guò)C作一條沿河岸的平行線(xiàn)，軸距離河岸為1km。計(jì)算時(shí)若忽略了這一點(diǎn)，將無(wú)法求解正確答案。
立體幾何最短路徑問(wèn)題
題型特征：求立體圖形中兩點(diǎn)的最短距離
解題方法：將立體圖形展開(kāi)放在同一平面，連線(xiàn)計(jì)算
例1.【2019河北】長(zhǎng)、寬、高分別為12cm、4cm、3cm的長(zhǎng)方體ABCD-A_1 B_1 C_1 D_1上，有一個(gè)螞蟻從A出發(fā)沿長(zhǎng)方體表面爬行到C_1獲取食物，其路程最小值是多少cm?
A. 13
B.
C.
D. 17
由題干螞蟻從A出發(fā)沿長(zhǎng)方體表面爬行到
求
最短，畫(huà)圖可知，在長(zhǎng)方體中A和不在同一平面，要求最短距離先要把A和C_1放在同一平面內(nèi)，則把面
翻折，形成面
，再連接，根據(jù)兩點(diǎn)之間直線(xiàn)最短求解。如下圖：
是直角三角形ABC_1的斜邊，要讓斜邊最短，則兩直角邊的平方和要盡可能小。當(dāng)AB=12，
=4+3=7時(shí)，兩直角邊的平方和最小，最短=
=，正確答案為B。
【點(diǎn)評(píng)】長(zhǎng)方體最短路徑問(wèn)題可直接運(yùn)用結(jié)論，長(zhǎng)方體中相對(duì)的兩個(gè)頂點(diǎn)沿表面走的最短距離為：
；最短路徑數(shù)為2條，因?yàn)殚L(zhǎng)方體存在對(duì)立面，每一條路徑都有一條與之相對(duì)的路徑，因此有2條。
例2. 【2013北京】A和B為正方體兩個(gè)相對(duì)的頂點(diǎn)，一個(gè)點(diǎn)從A出發(fā)沿正方體表面以最短路徑移動(dòng)到B，則其可選擇的路線(xiàn)有幾條：
A. 2
B. 3
C. 6
D. 12
【解題思路】正方體有3組對(duì)立面，如圖可知每一條路線(xiàn)在對(duì)立面上都有一條與之對(duì)應(yīng)的路線(xiàn)，因此每組對(duì)立面有2條路線(xiàn)，3組對(duì)立面共6條路線(xiàn)，正確答案為C。
【點(diǎn)評(píng)】若本題為求A到B最短距離，則可將正方體展開(kāi)，將AB放在同一平面內(nèi)。連接AB后，AB=
=
邊長(zhǎng)。
正方體最短路徑問(wèn)題也有有對(duì)應(yīng)結(jié)論，小編建議可以直接用結(jié)論做題，正方體中相對(duì)的兩個(gè)頂點(diǎn)最短距離為邊長(zhǎng)，最短路徑數(shù)為6條。
以上就是對(duì)于幾何中的最短路徑問(wèn)題的詳細(xì)講解。幾何問(wèn)題在近幾年的國(guó)考、聯(lián)考及單獨(dú)命題省考中每年均有考查，最短路徑問(wèn)題大家可以看到套路性很強(qiáng)，希望各位考生通過(guò)學(xué)習(xí)均能對(duì)此有良好的掌握。
