容斥問題的本質(zhì)是去除重復(fù)，而解題方法是公式法和圖示法。首先優(yōu)先使用公式法，兩集合類容斥問題的公式為：總情況數(shù)－兩個(gè)條件都不滿足的個(gè)數(shù)=滿足條件1的個(gè)數(shù)+滿足條件2的個(gè)數(shù)-兩個(gè)條件都滿足的個(gè)數(shù)，能夠直接套用公式的題目?jī)?yōu)先套用公式。當(dāng)題目中出現(xiàn)“只”滿足一個(gè)條件這樣的字眼，由于公式當(dāng)中無法直接求出，可使用圖示法進(jìn)行求解。
那么下面我們一起看幾個(gè)例題，應(yīng)用一下兩集合類容斥問題的兩種解題方法：
例題1：某單位計(jì)劃從全部80名員工中挑選專項(xiàng)工作組成員，要求該組成員須同時(shí)有基層經(jīng)歷和計(jì)算機(jī)等級(jí)證書。已知，單位內(nèi)有40人具有基層經(jīng)歷，有46人有計(jì)算機(jī)等級(jí)證書，既沒有基層經(jīng)歷又未獲得計(jì)算機(jī)等級(jí)證書的有10人。那么能夠進(jìn)入工作組的員工有（ ）人。
A.16
B.40
C.46
D.54
答案：A
解析：第一步，本題考查容斥問題。
第二步，能夠進(jìn)入工作組的員工即為兩個(gè)條件都滿足的人，設(shè)能夠進(jìn)入工作組的員工有x人，根據(jù)兩集合容斥公式：總數(shù)－都不=A+B－AB，代入數(shù)據(jù)可得80-10=40+46-x，解得x=16人。因此，選擇A選項(xiàng)。
例題2：某年級(jí)有學(xué)生100名，某次測(cè)驗(yàn)中數(shù)學(xué)滿分的有62人，英語滿分的有34人，兩門課程都得滿分的有11人，那么兩門課程都沒有得滿分的有( )人。
A.26
B.15
C.96
D.89
答案：B
解析：第一步，本題考查容斥問題。
第二步，設(shè)兩門課程都沒有得滿分的有x人，根據(jù)二者容斥公式可得：62+34-11+x=100，解得x=15，即兩門課程都沒有得滿分的有15人。因此，選擇B選項(xiàng)
例題3：學(xué)校有300個(gè)學(xué)生選擇參加地理興趣小組，生物興趣小組或者兩個(gè)小組同時(shí)參加。如果80%學(xué)生參加地理興趣小組，50%學(xué)生參加生物興趣小組。問同時(shí)參加地理和生物興趣小組的學(xué)生人數(shù)是多少？
A.240
B.150
C.90
D.60
答案：C
解析：第一步，本題考查容斥問題，屬于二集合容斥類，用公式法解題。
第二步，共兩個(gè)興趣小組，其中80%的學(xué)生參加地理興趣小組、50%的學(xué)生參加生物興趣小組，根據(jù)兩集合容斥原理公式：滿足條件1的個(gè)數(shù)＋滿足條件2的個(gè)數(shù)－兩者都滿足的個(gè)數(shù)＝總個(gè)數(shù)－兩者都不滿足的個(gè)數(shù)，設(shè)同時(shí)參加兩個(gè)興趣小組的學(xué)生占比為x，則有80%＋50%－x＝100%－0，解得x＝30%，那么同時(shí)參加兩個(gè)興趣小組的共有300×30%＝90（人）。因此，選擇C選項(xiàng)。
例題4：某科學(xué)家做了一項(xiàng)實(shí)驗(yàn)，通過向若干只狒狒提供不限量的香蕉和香腸以研究其食性。結(jié)果表明，90%的狒狒有進(jìn)食，其中吃香蕉的狒狒是吃香腸的狒狒數(shù)量的3倍，而兩種食物都吃的狒狒是只吃香腸的狒狒數(shù)量的2/3，則未進(jìn)食的狒狒是只吃香蕉的狒狒數(shù)量的：
A.1/5
B.3/10
C.2/13
D.4/15
答案：C
解析：第一步，本題考查容斥問題。
第二步，如下圖：
設(shè)兩種食物都吃的狒狒有2x只，則只吃香腸的有3x只，根據(jù)吃香蕉是吃香腸的3倍，可得吃香蕉的有（2x＋3x）×3＝15x只，進(jìn)食的狒狒共15x＋3x＝18x只，占總數(shù)的90%，共計(jì)18x÷90%＝20x只狒狒，未進(jìn)食的有2x只，是只吃香蕉的2/13。
因此，選擇C選項(xiàng)。
